帮你学好因式分解(九)——分组分解法-因式分解ppt

因式分解的基本方法有提取公因式法和运用公式法(包括运用平方差公式a^²-b^²=(a+b)(a-b)、完全平方公式a^²±2ab+b^²=(a±b)^²以及x^²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(即十字相乘法))两种，这两种方法也是因式分解时必须优先考虑的，也就是说，对多项式的因式分解，首先看看有没有公因式？如果有公因式一定要先提取；在没有公因式的情况下考虑能否套用公式法？能用公式法分解时就用公式法分解；在没有公因式也不能运用公式法时，再考虑分组分解法。

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，要想因式分解就得运用分组分解法．因此，分组分解法也是因式分解的重要方法之一，是提取公因式法和运用公式法不能的情况下必须运用的第三种方法。

所谓分组分解法就是把多项式的某些项划分为一组，把多项式分成若干组，然后各组运用提取公因式法或运用公式法(包括十字相乘法)分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或运用公式法(包括十字相乘法)进行分解。

分组分解法是一种较高层次的思维活动，运用分组分解法的关键是分组，分组往往需要不断尝试，要能预见到各组分解后的各组及其之间是否能够运用提取公因式法或运用公式法进行分解？如果不能达到最终的分解，则需要再改变分组的方案，直至实现最终的分解。

分组分解法的一般思路有如下几种：

一、各组分解后，能运用提取公因式法分解

例1 分解因式：x^²-xy-yz+xz．

分析与解：该多项式有四项，各项没有公因式，尝试按“二二”型分组(即两项为一组，划分为两组)，此时具体有如下三种分组方案：

（1）如果第一、二项为一组，第三、四项为一组，则

原式=(x^²-xy)+(-yz+xz)，

=x(x-y)+z(x-y)(各组分解，发现公因式x-y，可用提取公因式法分解)

=(x-y)(x+z)．

（2）如果第一、三项为一组，第二、四项为一组，则

原式=(x^²-yz)+(-xy+xz)，

=(x^²-yz)-x(y-z)(各组分解，没有发现公因式，也不能运用公式，宣告分组失败)。

（3）如果第一、四项为一组，第二、三项为一组，则

原式=(x^²+xz)+(-xy-yz)，

=x(x+z)-y(x+z)(各组分解，发现公因式x+z，可用提取公因式法分解)

=(x+z)(x-yz)．

评注：四项式的分组有两大方案——“二二”和“一三”，当其中一种方案不行时，应考虑另一种方案。

例2 分解因式：a^²-3ab+2b^²-2a+4b．

分析与解：该多项式有五项，分组时只能是按“二三”型进行，而具体方案有：（1）第一、二项为一组，其他三项为一组；（2）第一、三项为一组，其他三项为一组；（3）第一、四项为一组，其他三项为一组；（4）第一、五项为一组，其他三项为一组；（5）第二、三项为一组，其他三项为一组……共有10种分组方案，经尝试可知其中可行的方案是：第一、二、三项为一组，第四、五项为一组。

原式=( a^²-3ab+2b^²)+(-2a+4b)（第一组可用十字相乘法，第二组可提取公因式）

=(a-b)(a-2b)-2(a-2b) (各组分解，发现公因式a-2b，可用提取公因式法分解)

=(a-2b)(a-b-2).

二、各组分解后，能运用平方差公式分解

例3 分解因式：x^²-y^²+2y-1．

分析与解：如果按“二二”型分组，则经过尝试全部分组方案后可知均无效。考虑按“一三”型(即把其中三项划分为一组，另一项单独为一组)，则具体有四种分组方案，经过尝试可知只有如下把第一项单独划分为一组，第二、三、四项划分为一组有效。即

原式=x^²-(y^²-2y+1)(第二组可运用完全平方公式分解)

=x^²-(y-1)^²(发现能运用平方差公式分解)

=(x+y-1)(x-y+1)．

评注：分组使先确定大的分组方案，再一一尝试具体分组方案。

例4 分解因式：4x^⁴+1．

分析与解：原式只有两项，显然没有公因式，也不能运用公式法，怎么分组呢？只有先改变它的项数——添一项，减一项。添哪项好呢？注意4x^⁴+1这两项事实上是平方和，可以猜测它的分解一定与(a+b)^²有关。为了把这个平方和化为和的平方，添上4x^²，并把它与4x^⁴+1划分为一组试试。

原式=4x^⁴+4x^²-4x^²+1

=(4x^⁴+4x^²+1)-4x^²(第一组可运用完全平方公式分解)

=(2x^²+1)^²-(2x)^²(发现能运用平方差公式分解)

=(2x^²+2x+1)(2x^²-2x+1)．

评注：添项、减项是改变项数少的有效手段。

三、各组分解后，能运用完全平方公式分解

例5 因式分解：x^²-2xy+ y^²-4x+4y+4.

分析与解：该多项式的项数为6，分组的大方案有分成两组的“三三”型，和分成三组的“二二二”型及“一二三”型两种。经过尝试可知只有按“一二三”型分组，具体有效的方案是把第一、二、三项划分为一组，第四、五项划分为一组，第六项单独为一组，则

原式=( x^²-2xy+ y^²)+(-4x+4y)+4（各组分解）

=(x-y)^²-4(x-y)+4（发现可运用完全平方公式分解）

=(x-y-2)^².

评注：尝试分组时先全面观察一下多项式，从公因式、符合乘法公式等角度入手去看看各项之间的关系。

四、各组分解后，能运用十字相乘法分解

例6 分解因式：a^²-4ab+4b^²+3a-6b+2．

分析与解：经尝试可知有效的分组方案是：把第一、二、三项划分为一组，第四、五项为一组，第六项单独为一组，则

原式=(a^²-4ab+4b^²)+(3a-6b)+2（各组分解）

=(a-2b)^²+3(a-2b)+2（发现能运用十字相乘法分解）

=(a-2b+1)(a-2b+2)．

评注：分组不是目的，而是一种过程，一种手段．通过分组改变多项式的项数，为提取公因式法和运用公式法、十字相乘法的运用创造条件。