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抽屉原理的难题难在哪里？
往往是难在抽屉的构造，特别是对于第一次接触到的那种题目。长期关注我公众号的朋友都知道，在我看来，数学题要做的好，无非就是化归思想掌握的好，但是这个掌握好又谈何容易？
所以对于初学者来说，还是很有必要把题目多变几个形式，让他们能够理解基本知识点可以怎样进行改头换面。
例：在一个边长为2的等边三角形内（包括边界）任意选5个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于1.
这是从来没碰到过的问题。
几何构型的抽屉原理是第一次讲，抓瞎了？正常。
我们想这样一个问题，需要几个抽屉？
很容易想出来：4个。
为什么是4个？
需要证明的结论是一定有两个点之间的距离的不大于1，也就是一定要有两个点落进同一个抽屉，其他三个可以落在不同的抽屉，所以这样应该是4个。
抽屉和抽屉之间是平等的，所以我们需要把这个正三角形分成四个一模一样的小三角形，很显然，这四个三角形也应该是正三角形。
我们把正三角形的三条边的中点都连起来，这就得到了四个一模一样的小正三角形——这是最直接的想法。
对不对？
其实我也不知道，先试试再说呗。
现在我们有五个点，四个抽屉，所以必然有一个抽屉里至少有两个点。而在一个正三角形中，两点之间最远距离显然就是两个顶点之间的距离，小正三角形的边长是1，所以一定有两点距离不超过1.
运气不错，一击即中。
再来看个例子：
求证：在1,11,111,1111，……这一系列的数中，一定有一个是71的倍数。
你说我把这个数找出来行不行？
可以啊，你试试看吧——反正我是不找。
因为既然题目敢这么出，说明这个数不是那么容易能找到。
如果换个37，直接到111题目就做完了，所以让我把这个数找出来，我是拒绝的。
数学家经常被物理学家黑，比如说这么个笑话：工程师的房子着火了，他拿出一个灭火器把火扑灭了；
物理学家的房子着火了，他花了半天时间发明一种新式灭火器把火扑灭了；
数学家的房子着火了，他看了看墙角的灭火器然后说：灭火的方法是存在的，然后睡觉去了。
没错，我们就是只要知道71的倍数存在就ok了，至于是多少，那是物理学家的事情。
这个题目怎么证明存在性呢？
还是要把这个数找到。
不对啊贼老师，你自己不是说不找的么？怎么又要找了？
找到是找到，肯定不是具体找到，我只要找到这里面的某个数，但是又不是具体的数就可以了。
是不是糊涂了？
既然讲抽屉原理，抽屉在哪里？
我们看到，这些数是很有规律的，71的倍数也是很有规律的。如果把问题扩大一点，变成我们怎么保证任意给出的一些数里必然有71的倍数呢？
保证不了。
我们可以很简单地构造出无数的自然数，里面一个都不是71的倍数——比如把所有自然数中71的倍数去掉即可。
但是如果我们任意挑出72个数，那么一定有两个数的差是71的倍数。
为什么？因为任意一个自然数除以71得到的余数只能是从0到70这71个数，再加一个，必然有两个余数相同，那么此时这两个数的差就是71的倍数了。
所以，1,11,111,1111，……，这些自然数里必然有两个的差是71的倍数。这两个数我们不妨设为A和B，且A>B，那么A-B一定是11……100……的形式。
而100……必然和71互质，所以前面的11……1就是71的倍数了，证毕。
现在明白了什么叫找到这个数但是并不是具体哪个数的意思了吧。
2018年最后一天，学点数学也是挺好的~