利用直方图估计“三数”，让学生演绎统计思维-excel直方图

——用样本的数字特征估计总体数字特征（第1课时）课例赏析

王 丹（湖北省鄂南高级中学）

周远方（湖北省教育科学研究院）

摘要：本课例是一个集概念性、探究性和应用性于一体的教学案例．围绕制定节水标准问题，在利用直方图估计众数、中位数、平均数（简称“三数”）的过程中，引导学生分组探究、合作交流、自主决策，逐步完善解决问题的途径，在层层探索之中暴露学生的思维过程，激发学生的探究欲望，培养学生的统计思维．

关键词：直方图；样本估计总体；数字特征；统计思维

一、引言

本节课内容是一节典型的概念课，是在前面已经学习了抽样方法、用样本的频率分布估计总体分布的基础上，为了更好地把握总体的规律，进一步挖掘样本，利用样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而作出更好的决策，以解决实际问题．这样，既能帮助学生逐步建立用样本估计总体的统计思想，又能提高解决实际问题的能力．

本节课因教学容量大，实用性强，要求学生参与度高，因此，课前，让学生以小组为单位，利用excel学会制作样本频率分布直方图，并回顾众数、中位数、平均数等有关概念．课上，采用问题驱动和启发探究的教学模式，始终以学生为主体，通过设置问题串，激发学生的学习兴趣，鼓励学生探究、合作和交流，引导学生分析、解决典型问题并提炼方法，帮助学生建立新的认知结构，让统计思想自然诞生在学生的探究过程中，教师仅起到“助产士”的作用．同时，在探究过程中，采用多媒体教学，突出活动的组织与思想方法的引导，在师生共同搭建的分组合作与互动探究的平台上，突出重点：利用频率分布直方图估计样本数字特征（样本的“三数”），并利用它们估计总体数字特征（总体的“三数”），进一步体会用样本估计总体的思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意识；也突破难点：如何从样本频率分布直方图中提取样本数字特征，统计思维的建立．课尾，采用以退为进的方式，通过减小样本，提出如何进一步描述样本数据的离散程度，为下节课学习标准差做好铺垫．

二、课堂实录

1．设置情境，提出问题

创设情境（多媒体出示缺水图片）：近年来，由于气候恶化，我国很多地方干旱缺水，导致土地干裂，牲畜饮水困难，小麦等农作物枯死，颗粒无收，人们的正常生活受到严重威胁；而另一方面，有人肆无忌惮地浪费珍贵的水资源，所以节约用水刻不容缓，人人有责!那么如何才能将节约用水落到实处呢?

生1：我们最好定一个标准，限制每个居民的月均用水量．

师：这个想法不错，那我们现在就来谈一个热点话题―阶梯水价．

提出问题：咸宁市政府为了节约生活用水，计划于2015年在本市城区（20万人）试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水标准

，用水量不超过

的按平价收费，超出

的部分按议价收费．为了不影响大部分居民的日常生活，那么标准

定为多少比较合理呢?

【评析】开头通过图片震撼的视觉效果，迅速抓住学生的注意力，其直接作用是激发了学生的学习兴趣，更深层次的用意是让学生感悟数学从生活中来，明确研制居民用水标准的必要性，使得导入过程自然．

2．分析问题，明确思路

生2：能求出城区居民月均用水量这个总体的数字特征就好了，再来制定标准a．

生3：直接求总体的数字特征不现实，因为总体的容量太大，每个人的月均用水量难以一一获得，即使获得，计算起来也是比较麻烦的．

师：那怎么办呢?

生3：抽样，用样本的数字特征估计总体的数字特征，再来制定标准a．

生4：我赞同生3的看法，这种方法可行．

师：大家认为呢？

生：可行！

师：这是可行的．这就是统计思想，从特殊到一般．也是我们这节课学习的主要内容——用样本的数字特征估计总体的数字特征．咸宁市政府通过抽样，获得了100位居民在2014年前三个季度的月均用水量（单位：t）．100位居民的月均用水量（单位：t）如下：

问题1：理论上抽取100个样本数据是远远不够的，但为了课堂上计算的方便，我们只抽取了100个样本数据.上节课已经绘制出了相应的频率分布直方图（图1），能否从直方图中直接提取样本数字特征呢？进而用样本的数字特征估计总体的数字特征．

展示与交流1：

生5：我们小组算出的众数是2.25t，也就是最高小矩形底边的中点（图2）．大家有没有意见？

生5：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，也就是出现频率最高的数，而在直方图中，每个小矩形的面积表示相应小组的频率，所以众数出现在最高的小矩形中．

生6：为什么取中点？众数只是集中在2～2.5这一段上，但并没有说就是2.25．

生5：是的，2～2.5这一段上的其它值也有可能成为众数，但2.25这个中间值更具代表性．

生6：有道理．

生5：还有其他意见吗？

生7：我认为众数不一定落在2～2.5这一段上．

生5：能举个反例吗?

生7：万一集中在2～2.5中的数据很分散，比如2.01，2.02，2.03…，总之没有两个一样的，而在1.5～2这一段中却始终是1.7，虽然2～2. 5这一段的数据还是比1～1.5这一段的数据多，但众数有可能落在1.5～2中，这样你们判断的众数可能就会失误．

生5：那我下去以后再想一下。

师：大家的讨论非常精彩．有的同学可能还不理解生７的说法，我们来看这样一组样本数据（单位t）：1，3，3，3，3，5，5，5，6，6，以2为组距，制出相应直方图（图3），按照生5的说法，由直方图求出的众数落在4～6这一段上，为5t；而按照生7的说法，样本的众数为3t，落在2～4这一段上．

生8：这种情况是怎样造成的呢?

生9：主要原因是直方图丢失了原来的具体数据，求出的只是众数的估计值．

生8：我们能减少误差吗?

生9：可以，由样本制取直方图的过程中，缩短组距．

生8：能完全避免误差吗?

生9：不可能．

生8：那我们为什么还要从直方图中计算样本的众数呢?

生9：因为直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明样本的分布形态，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．另外，由直方图求众数也比较快捷．

师：那我们现在选哪一个作为众数好呢?

生10：还是选2.25，这符合我们大多数人的习惯．

师：大家的意见呢？

生：取2.25．

师：那我们就取2.25作为众数．通过上面的讨论过程，我们发现由直方图求出的众数是一个估计值，可能会有偏差．我们将众数看作直方图中面积最大矩形的“中心”，它是一组数据的最大集中点，此时它告诉我们，咸宁市城区月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其他值的居民多，但它并没有告诉我们多多少，所以，我们有必要通过直方图考察其他两个数字特征．

探究2：如何在频率分布直方图中估计中位数？

生14：还是和前面一样，样本频率分布直方图丢失了原来的样本数据，得到的是样本中位数的估计值．

师：大家确实开动了思维．我由直方图算出的结果与生11是一样的，请大家看一下，中位数约为2.02t．在图4中，虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值．其左边直方图的面积代表50个单位，右边直方图的面积也代表50个单位，可将中位数看作整个直方图的“中心”．总之，样本的数字特征都可以由两种途径来计算，即直接利用样本数据计算或用直方图来估计，通过直方图得到的估计结果精确度降低了，但是只要在一定的精确度范围内，这种不一致在统计学中也是一种正常现象．为了更好地估计总体，我们还有必要通过直方图研究样本的平均数．

探究3：如何在频率分布直方图中估计平均数？

很有意思，在后面随机变量的学习中我们还会与它见面．此时，我们由直方图估计出了样本的数字特征．由此可估计咸宁市城区居民月均用水量这个总体的数字特征分别为：众数：2.25t；中位数：2.02t；平均数：2.015t。

【评析】让学生由直方图估计样本的数字特征，由此以估计总体的数字特征，并让学生体会统计思维与确定性思维的差异．

4．开放选择，决策评价

问题2：若以这三个估计值为依据，让你帮政府作出决策，标准a应定为多少？还是请大家讨论一下。

生17：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，根据少数服从多数的原则，我觉得以众数2.25t作为标准a比较好．

生18：我觉得以众数作为标准不妥，虽然众数是一组数据的最大集中点，但也仅仅是相对而言，众数只反映了总体的一部分信息，无法客观地反映总体特征．

师：那以谁作为标准合适呢?

生18：以中位数2.02t作为标准，因为中位数处于一组数据的中间，更具有代表性，另外中位数一般不受极端值的影响．

生19：我觉得以中位数2.02t作为标准也不好，虽然中位数一般不受极端值的影响，但也只反映了总体的一部分信息．以平均数作为标准较好，因为平均数与每个数据有关，能更好地反映总体信息．

师：平均数就没有缺点吗?

生19：也有，平均数与每一个数据有关，受少数极端值的影响较大，若抽取的样本质量不高，用样本的平均数估计总体特征的可靠性降低，作出的决策也有可能是错误的．

师：确实如此，如在跳水比赛中，我们会将评委的量分去掉一个最高分，一个最低分，然后取其平均数作为选手的最后的得分．看来，同学们选择与评价的理由都很充分，这三个数字特征各有优缺点，选那一个作为标准更合适?

生20：根据数字特征的优缺点，在抽取的样本较合理的前提下，以平均数作为标准a相对要好一些，定为2.015t．

师：大家的意见呢？

生：选平均数作为标准．

师：确实，选平均数作为标准要更合适一些．它更能反映总体的特征（板书）．下面请大家继续思考问题3．

问题3：根据“三数”给供水公司提供城区居民月均用水标准各有利弊，那么我们从统计意义给出的用水标准与实际定出的用水标准是否有差异？

生：有。

师：差异是什么？

生21：实际用水标准还要考虑地域差异，居民基本素质，生活习惯等．

师：不错，我们要理论联系实际，这样作出的决策会更合理！

【评析】通过合理选择和决策评价，不仅让学生弄清了根据统计数据如何合理决策的可能性，而且知道了三个数字特征的优缺点，更重要的是让学生明确仅仅依赖统计数据决策是有风险的，还需要综合考虑实际用水的一些客观或主观因素（如居民的基本素质、职业特点、生活习惯、经济状况等）从而作出合乎情理和切合实际的决策．

5．归纳小结，知识升华

让学生归纳并展示如下知识与思想方法结构图（图5）.

【评析】归纳小结，实际上就是给了学生一个解决统计问题的钥匙．学生的知识结构进一步完善，统计思想进一步升华．

6．质疑解惑，问题延伸

疑惑1：

生22：如果我们选择另外一个样本容量为100的样本，由此所计算出的样本数字特征一样吗？对总体数字特征的估计是一样的吗？

生23：不一样，样本变化了，样本数字特征也会相应变化，对总体的估计不一样．

师：由此可见，由于所抽取的样本具有随机性，因此样本数字特征也具有随机性，对总体的估计可能有偏差，故应尽量选择有代表性的样本．

疑惑2：

生24：在随机抽样的前提下，如果我们选择的样本容量越来越大，样本数字特征的变化会有规律吗?

师：有没有规律？

生：有！

生25：样本数字特征会越来越接近总体的数字特征．

师：不错，在随机抽样前提下，样本的数字特征随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征（总体数字特征是一定的，不存在随机性），这就是样本数字特征的规律性．

问题4：对咸宁市城区某两个小区（人数大致相等）的居民2014年前三个季度月均用水量进行了调查，通过随机抽样，分别获得了一组样本数据：

甲：3，4，3，5，1，2，5，6，3，2

乙：5，3，3，4，3，2，4，2，5，3

两个样本的平均数相等吗？两个小区居民月均用水量是否就没有什么差异呢？

生26：两个样本的平均数相等，为3.4t，故两个小区居民月均用水量无差异．

师：两个样本的平均数确实相等，但两个小区居民月均用水量还是有差异的，这就是我们下一节课要学习的内容：标准差，请大家下去预习一下，下课．

【评析】给学生一点时间自由提问，随着问题的延伸，学生对样本数字特征的性质有一定的了解，再次感悟统计思维与确定性思维的差异，同时学生的问题意识和探究精神会有所加强．

三、教学点评

数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心．统计学入门比较容易，但深入下去会非常困难，高中阶段引入这门学科的知识，正是承载了为大学阶段做好铺垫的使命，本节课较好地完成了部分任务：

1．决策节水问题，凸显知识主线

通过体验用水标准的统计决策过程，很好地凸现了本节课的知识主线：抽样－估计样本的数字特征估计—估计总体的数字特征估计—作出决策，让学生了解统计的一般过程．

2．解决实际生活问题，形成统计思想

制定居民月均用水标准的过程，实际上就是从一般到特殊，特殊到一般的过程，学生体会了统计归纳思想的重要性，统计思想在学生的头脑中也会初步形成，思想线贯穿始终．

3．直方图估三数，演绎数形结合

从频率分布直方图入手，结合三个数字特征的定义，能快速得到样本的数字特征，进一步估计总体的数字特征．在此过程中，体现了数形结合的数学思想方法在解决问题过程中的事半功倍的效果此为方法线．

本节课作为概念应用课，知识、思想和方法三条线同时铺开，线线交织，层层深入，体现了螺旋上升的学生认知规律．学生通过亲身经历，了解了用样本数字特征估计总体数字特征的基本过程，出色完成了本节课的知识任务，并初步形成统计思想，达到思想暗线的延伸．在进行的过程中，学生遭遇用直方图估计样本数字特征的瓶颈，通过小组合作交流，数形结合思想方法的功效体现无疑，方法线在潜移默化中铺设完成．最终通过对用水标准的决策，达到知识、思想、方法最后的合成与升华！

参考文献：

[1]刘绍学. 普通高中课程标准实验教科书×数学3（必修A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2010.

[2]周远方，孙延洲. 高中课堂教学标准及教学实例[M]. 武汉：湖北教育出版社，2013.