帮你学好因式分解(五)——运用公式法（平方差公式）-因式分解ppt

对于多项式的因式分解，提取公因式法是基本方法之一，此外又一种基本方法是运用公式法．

这里所说 公式是指乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b) =a^²-b^²和完全平方公式(a±b)^²= a^²±2ab+b^²．运用这两个乘法公式为什么可以进行因式分解呢？因为把这两个公式反过来就是下面两个公式：

a^²-b^²=(a+b)(a-b)……（1）

a^²±2ab+b^²=(a±b)^²……（2）

公式(1)仍然叫做平方差公式，公式(2)还是叫做完全平方公式，但它们的作用已经彻底变了，原来是用于进行多项式乘法运算，现在是用来进行因式分解．

根据公式(1)、(2)，只要多项式符合公式(1)或(2)左边的条件，我们就可以把它分解为右边的因式相乘．运用公式(1)或(2)进行因式分解的方法就叫做运用公式法．

从公式来看，能运用平方差公式(1)分解的多项式首先必须是两项式，其次是这两项都必须是某个式子的平方，最后还必须是差的形式，即前者平方减去后者平方．这三个条件可以简单记作“两项皆平方，符号恰相反．”

例如，x^²+y^²中，两项虽然都是平方，但它们的符号却都是带正号“+”，不满足“符号恰相反”的条件，所以不能运用平方差公式分解的．同样地，-x^²-y^²也是不满足平方差公式条件的．

又如，x^²-y中，两项符号虽然相反，但前者平方，后者不是平方，不满足“两项皆平方”条件，所以不能运用平方差公式分解．

当两项式满足平方差条件时，根据公式(1)就可以把它分解为两个因式相乘，这两个因式分别是这两个平方底数的和与差．

例如，x^²-y^²是平方差，平方底数分别是x、y，分解的结果是x、y的和乘以x、y的差，即(x+y)(x-y)．

在平方差公式(1)中的a、b，它们所代表不仅仅是单独的字母，也可以是具体的数字，还可以是单项式、多项式等．

在运用平方差公式因式分解时常常需要先对a、b进行简单的变形，化为地地道道的平方差后再分解，同时注意几点几点：

（1）当a或b中有一个是数字时，这个数题目一般不写成平方的形式，此时我们要根据该数的大小把它写成平方的形式，然后再分解．

例如，a^²-4，把4写成4的平方2^²，则

原式=a^²-2^²

=(a+2)(a-2)．

（2）当a、b为单项式时，有时需要先对单项式进行整理为(…)^²这样的平方后再分解．

例如，9x^²-y^²，先把9x^²写成(3x)^²，则

原式=(3x)^²-y^²

=(3x+y)(3x-y)．

又如，a^²b^²-1，先把a^²b^²写成(ab)^²，同时把1写成1^²，则

原式= (ab)^²-1^²

=(ab+1)(ab-1)．

（3）当a、b指数为大于2的偶数时，先把它们写成幂的平方差后再分解．

例如，x^⁴-y^²，把x^⁴写成(x^²)^²，则

原式=(x^²)^²-y^²

=(x^²+y)(x^²-y)．

（4）当a、b是多项式时，先留括号再整理．

例如，(2x+y)^²-(x-2y)^²，分解为两数和乘以两数差时，先把(2x+y)与(x-2y)的括号留下，再去括号整理．即

原式=[(2x+y)+(x-2y)][ (2x+y)-(x-2y)]

=(3x-y)(x-3y)．

（5）当“差”的负号“-”在第一项前面时，先把前后两项的位置交换一下．

例如，-m^²+n^²，先把前后项（包括符号）的位置交换，化为n^²-m^²，再分解．即

原式= n^²-m^²

=(n+m)(n-m)．

在运用提取公因式法进行因式分解时，我们遇到过公因式提取后，新因式经过整理又出现了新的公因式，此时需要再次提取才算分解完成．在运用平方差公式分解时也会遇到过这种情况，此时我们必须再次运用平方差公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止．

例如，a^⁴-1，第一次运用平方差公式分解为(a^²+1)(a^²-1)后，第一个因式(a^²+1)是不能再分解的，但第二个因式(a^²-1)显然又可以再用平方差公式分解为(a+1)(a-1)．分解过程如下：

原式=(a^²+1)(a^²-1)

=(a^²+1)(a+1)(a-1)．

运用公式法因式分解是在多项式用提取公因式不能时才考虑的方法，因此，当多项式有公因式时一定要先提取公因式，然后再考虑能否用公式继续分解？

例如，分解因式：4a^³-9a．

多项式虽然是两项差的形式，却不是平方差，怎么分解呢?先观察一下这两项有公因式吗？有！公因式是a，因此，先提取公因式a，化为a(4a^²-9)，再考虑新因式(4a^²-9)能否继续分解？

解：原式=a(4a^²-9)

=a[(2a)^²-3^²]

= a(2a+3)(2a-3)．

再如，因式分解：(a-b)a^²+(b-a)b^².

注意a-b与b-a是互为相反数，它们可以相互转化成公因式，先提取后再看看能否继续分解？

解：原式=(a-b)a^²-(a-b)b^²

=(a-b)(a^²-b^²)

=(a-b)(a+b)(a-b)

=(a-b)^²(a+b)．

运用平方差公式分解后，有时还会出现有公因式，此时仍然需要把公因式提取出来．

例如，分解因式：(a-3b)^²-(3a+b)^².

解：原式=[(a-3b)+(3a+b)][(a-3b)-(3a+b)]

=(4a-2b)(-2a-4b)

=2(2a-b)·(-2)(a+2b)

=-4(2a-b)(a+2b)．

有些多项式我们所看到的的既没有公因式，也不能运用公式法，怎么分解呢？

例如，分解因式：(a+b)(a-2b)+b(a-7b).

显然，该多项式没有公因式可提取，也不能运用平方差公式，我们唯一能做的是进行计算、化简，因此，就先把它化简后再确定然后分解．

解：原式=a^²-2ab+ab-2b^²+ab-7b^²

=a^²-9b^²

= a^²-(3b)^²

=(a+3b)(a-3b)．

最后再看几个例子：

例1 分解因式：25(a+b)^²-9(a-b)^².

解：原式=[5(a+b)]^²-[3(a-b)]^²

=[5(a+b)+3(a-b)][5(a+b)-3(a-b)]

=(8a+2b)(2a+8b)

=2(4a+b)·2(a+4b)

=4(4a+b)(a+4b)．

例2 因式分解：27a^³x^²-75ax^⁴.

解：原式=3ax^²(9a^²-25x^²)

=3ax^²[(3a)^²-(5x)^²]

=3ax^²(3a+5x)(3a-5x).

例3 因式分解：x^⁵-16x．

解：原式x(x^⁴-16)

=x(x^²+4)(x^²-4)

= x(x^²+4)(x+2)(x-2)．

练习：把下列多项式因式分解：

（1）8x^²-18．

（2）4m³-9mn^².

（3）64x^²-36．

（4）(x-1)y^²+(1-x).

（5）a^⁴-625.

（6）2a^²-1/2.

（未完待续）