一、函数的单调性

设曲线 y = f(x) 其上每一点都存在切线。

若切线与 x 轴正方向的夹角都是锐角，即切线的斜率 f'(x) > 0 , 则曲线 y = f(x) 必是严格增加，如图1；

若切线与 x 轴正方向的夹角都是钝角，即切线的斜率 f'(x) < 0 , 则曲线 y = f(x) 必是严格减少，如图2。

（注：红色的圈表示切点，图1直线和x 轴正方向成的角为锐角，图2直线和x 轴正方向成的角为钝角。）

由此可见，应用导数的符号能够判别函数的单调性。

定理1：设函数 f(x) 在区间 I 可导 。

函数 f(x) 在区间 I 单调增加（ 单调减少 ）

定理2：（严格单调的充分条件）若函数 f(x) 在区间 I 可导 ，

则函数 f(x) 在区间 I 严格增加（严格减少）。

注：定理2只是函数严格单调的充分条件而不是必要条件。

例题1、讨论函数 y = x^3 的单调性 。

而使 f'(x) = 3x^2 = 0 的点是孤立的点 0 。于是，函数 f(x) = x^3 在 R 上严格增加，如下图所示

事实上，可以证明，

而在区间 I 的任意子区间上 f'(x）不恒等于 0 的充要条件是 函数 f(x) 在区间 I 严格增加（严格减少）。

二、讨论可导函数 f(x) 的严格单调区间的步骤：

① 确定函数 f(x) 的定义域 ；

② 求导函数 f'(x）的零点（或方程 f'(x）= 0 的根 ）；

③ 用零点将定义域分成若干开区间 ；

④ 判别导函数 f'(x）在每个开区间的符号，根据定理 2 ，确定函数 f(x) 的严格增加或严格减少 。

例题2、讨论函数

解：函数 f(x) 的定义域 R 。

令 f'(x）= 0 ，其根是 0 ，它将定义域 R 分成两个区间 （-∞，0）与 （0，+∞）。作表如下：

例题3、证明：

证明：分别证明这两个不等式：

左端不等式 设

对任意的 x > 0 , 有 f'(x) > 0 , 从而，函数 f(x) 在（ 0 ， +∞）严格增加 ，且 f(0) = 0 ，于是 ，

右端不等式 设

对任意的 x > 0 , 有 g'(x) > 0 , 从而，函数 g(x) 在（ 0 ， +∞）严格增加 ，且 g(0) = 0 ，于是 ，

综上所证，

三、导数综合（1）—— 恒成立问题：

参考答案：