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前面的前面讲到泊松分布，今天讲到指数分布，这两种分布都带有指数，经常容易混淆。其实，指数分布可以从泊松分布推导出来，是特殊情况下的泊松分布。
泊松分布常应用在日常生活中有固定频率的事件的概率分布，如某医院平均每小时出生3个婴儿、某公司平均每10分钟接到1个电话、公交站没15分钟发一趟公交车等等。它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？
泊松分布概率密度函数公式
指数分布常用来代表上述事件的时间间隔的概率。如婴儿出生的时间间隔、来电时间的间隔、等公交的时间等等。
如果下一个婴儿要间隔时间 t ，即等同于 t 之内没有任何婴儿出生。因此，指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。
当n=0时，泊松分布的概率密度函数公式，即时间t内有固定频率的事件发生次数为0的概率
反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。即指数分布公式：
当n=0时，泊松分布在时间t内发生的概率
EXPON.DIST 函数（Excwl2013以下为EXPONDIST，用法参数相同）
返回指数分布。 使用 EXPON.DIST 可以建立事件之间的时间间隔模型，如银行自动提款机支付一次现金所花费的时间。例如，可通过 EXPON.DIST 来确定这一过程最长持续一分钟的发生概率。
EXPON.DIST(x,lambda,cumulative)
EXPON.DIST 函数语法具有下列参数：
X 必需。 函数值。
Lambda 必需。 参数值。
Cumulative 必需。 逻辑值，用于指定指数函数的形式。 如果 cumulative 为 TRUE，则 EXPON.DIST 返回累积分布函数；如果为 FALSE，则返回概率密度函数。
备注
如果 x 或 lambda 为非数值型，则 EXPON.DIST 返回 错误值 #VALUE!。
如果 x < 0，则 EXPON.DIST 返回 错误值 #NUM!。
如果 lambda < 0，则 EXPON.DIST 返回 错误值 #NUM!。
概率密度函数的公式为：
指数分布概率密度函数公式
累积分布函数的公式为：
指数累计分布函数公式
例子1：已知平均每小时出生3个婴儿，那么接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是多少？15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率又是多少？
P(X<=0.25)=1-e^(-3*0.25)=0.5276
观测值x即为一段时间，为观测时间/固定频率时间；平均概率即固定频率；累计分布即该段时间的概率累计
P(0.25<=X<=0.5)=P(X<=0.5)-P(X<=0.25)=1-e^(-3*0.5)-(1-e^(-3*0.25))=e^(-0.75)-e^(-0.15)=0.2492
随着间隔时间变长，事件的发生（孩子不出生）的概率急剧下降，呈指数式衰减。
例子2：指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。（对于一些高稳定性的元件较为实用，而易损耗的元件显然是矛盾的）。
“寿命”分布的方差非常大，以致于已经使用的时间是可以忽略不计的。
例如有一种电池标称可以充放电500次（平均寿命），但实际上，很多充放电次数数倍于500次的电池仍然在正常使用，也用很多电池没有使用几次就坏了——这是正常的，不是厂方欺骗你，是因为方差太大的缘故。随机取一节电池，求它还能继续使用300次的概率，我们认为与这节电池是否使用过与曾经使用过多少次是没有关系的。
有人戏称服从指数分布的随机变量是“永远年轻的”，一个60岁的老人与一个刚出生的婴儿，他们能够再活十年的概率是相等的，你相信吗？——如果人的寿命确实是服从指数分布的话，回答是肯定的。
实际上：指数函数的无记忆性来自于泊松过程k=0时的 时间指数性，而泊松过程k=0时的（上面婴儿实例提到）时间指数性来自于泊松分布时 lambda（lambda=n*p,通常n很大而p很小，n*p恒定）的恒定性，也就是离散情况下，二项分布的n*p的恒定性。