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小学的时候课本和老师就告诉我们，除法中除数不能为0，分数中分母也不能为0。听话的学生知道之后，乖乖照做。
但也有人一直受到困扰，偏不信邪，你说不能为0，我就不为0了吗？“禁止等于引诱”，对某些人来说，禁止的诱惑力就像门上贴的那个封条，总想透过门缝往里瞅瞅，看里边是什么。
那么我们也讨论下，除法中除数为0，分数中分母为0之会发生什么？
我们知道，分数定义于除法，除法定义于乘法，那么就让我们追根溯源，从源头来找找原因吧。
一.除法中除数为0，会如何？
我们先回忆一下，小学的除法是怎么引入的。
有10个苹果，平均分给5个小朋友，每人分几个？
10÷5=2（个）
这是除法的现实意义。
如果我们把题目改成：
有10个苹果，平均分给0个小朋友，每人分几个？
不存在的那个小朋友“0”也很苦恼且无辜，你爱咋分咋分，反正从0分到无穷大都分不出去，关我什么事？
除法的定义：已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
除法的定义要求非0，我们偏不非0，看看会如何。
例1：已知一个因数为0，积为2，求另一个因数是多数？（完美的违背了除法定义，是不是很刺激？）
知道积和其中一个因数，求另一个因数，用除法，即：
？=2÷0
要算出这个“？”，目前看没法算，又得回到乘法中去找，即：
0×？=2
0乘什么数得2呢？我们只知道0乘任何数得0，没有听过0乘那个数得2啊，这也意味着我们找不到这样的“？”，此题无解。
这意味着：被除数不为0，除数为0时，商不存在。
例2：我们还知道，
0×1=0，
0×2=0，
0×3=0，
0×4=0，
...
根据除法与乘法的关系，有：
0÷0=1，
0÷0=2，
0÷0=3，
0÷0=4，
...
这有意味着：当被除数为0，除数也为0时，商可以是任何数。
综上，0为除数时，商要不不存在，要么是任何数，无法确定，这破坏了四则运算结果的唯一性，一百个人有一百个答案，那这还怎么算啊。
所以才规定0不能作为除数，否则就乱套了。
二.分数的分母为0时，分数会如何？
小学高年级的时候，我们学了分数。分数的分子相当于除法里的被除数，分母相当于除数，分数值等于除法的商。既然除数不能为0，那么分母也自然不能为0了。
但是分数毕竟不是除法，除法是运算法则，不能随便修改，而分数只是一个数，我们能否给分母为0的分数重新定义呢？
比如0!=1；a的0次方=1等；为何不规定a/0=∞(a≠0)？
1.分母趋近于0分数值的变化
直接令分母为0好像有点突兀，我们柔和一点，先研究分母趋近于0时，分数值是如何变化的。
小学的时候，我们知道分子不变，分母越小，分数值越大。当分母逐渐趋于0时，分数值趋于无穷大。
初中的时候，我们引入了负数，学了反比例函数y=1/x，知道，当x趋近于0的时候，既可以从x轴正半轴方向趋近，也可以从x轴负半轴方向趋近，这两种趋近方式导致的函数值y变化截然相反，一个趋于正无穷，一个趋于负无穷。
那么我们在定义a/0=∞时，是正无穷还是负无穷。
或者我们可以变通一点，规定：当a>0时，a/0=+∞；当a<0时，a/0=-∞。
好像很有道理，但是你只是相当于把函数换了一个方向，并没有解决从两侧趋于0时，函数值(极限)不统一的问题。
这里边有两个变化，一个是a的正负，一个是0的正负（右趋近还是左趋近）。
即使我们令a=1，0的趋近方向不同，也会出现正负无穷的情况。你既然是一个数，那么正负性应该是确定的，有稳定的性质。所以，这样的a/0无法定义。
2.分母为0引起的矛盾
我们还是不死心，既然不能让a/0=∞。我们规定详细一点，令a/0=w（a>0，w是一个最大的正数）
那么问题来了，有没有最大的数？很多小朋友都知道，如果能定义出来最大的数就不是最大的数。
w为最大的数，那么w+1呢？
索性让你们都是最大好了，来个并列第一，反正都那么大了，也不在乎差1了，即w=w+1。也可以理解为无穷大加1还是无穷大。
有了上述定义，我们可以得出结论：
∵w=w+1，
∴（w+1）-w=0
∴1=0。
我们虽然费尽心机的定义了一个数a/0=w，但是与现有的系统相矛盾，那么这个定义的意义何在？
数学家们在定义0!=1；a的0次方=1的时候，并没有与现有体系产生矛盾，还做出了补充，所以这样的定义是没有问题的。但是如果你的定义与我们基本的四则运算，交换律结合律都发生冲突，那这种定义就不可取。
无穷大不是一个数，它的运算不符合数的运算的特性，自然我们也不能将之放入群中，数中的0还是不能做除数。零分母和无穷大只能用于形式计算。
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