先来讲几个故事

第一个故事

西方人把国际象棋称为“国王的游戏”。

国王非常喜欢这个游戏，决定给发明人以奖赏：“提出你想要的赏赐，本王一定要好好奖赏你。奖励你大米千斗，你这辈子都不用种庄稼了。”

“陛下，我深感荣幸。”发明者喃喃说，“我的愿望是你赏我一粒米。”

“只是一粒米？”皇帝很惊讶。

“是的，只要在棋盘上的第一格放上一粒米，”发明者说，“在第二格上放上二粒米，在第三格上加倍至4粒……依次类推，每一格均是前一格的双倍，直到放满整个棋盘为止。这就是我的愿望。”

皇帝很高兴，“如此廉价便可以换得这么好的游戏”，他心想，“我的祖辈们一定恩泽于我了。”

“好的！”皇帝大声说，“把棋盘拿出来让在座的各位见证我们的协定。”

皇宫的人都聚集到棋盘边。厨房的仆人一磅重的一代米送给发明者。发明者笑着打开了袋子。

“我建议你回厨房换一个大的袋子，”发明者对仆人说，皇宫里的人大笑起来，误认为这句话是讽刺的意思。然后发明者开始在棋盘上摆放米粒，每放一格便倍增米粒的数量。

当第一排的8个格放满时，1…2…4…8…16…32…64…128粒米，旁观者大笑着，指指点点。但放到第二排中间时，咯咯的笑声渐渐消失了，而被惊讶声所代替，因为小堆的米不久就增成了小袋的米，然后倍增成中袋的米，再倍增成大袋的米。

到第二排结束时，皇帝知道他犯了个极大的错误。他欠发明者的米粒数为32768，而还有48个格子空着呢！

皇帝终止了这个游戏，召来全国最聪明的数学家。他们打着算盘，在石板上匆匆计算。几番周折后，得到一个不可思议的结论。

一粒米在64格的棋盘上每个格倍增，最后是1800亿万粒米，总数是相当于全世界的米粒总数的十倍。

第二个故事

一张纸对折五十次（理论上）后，它的高度有多高呢？书的厚度？桌子的高度？一层楼？说出来你可能会惊讶——基本地球到太阳的距离。

第一次对折：2=2^1，第二次对折：4=2^2，第三次对折：8=2^3……

第五十次对折：2^50

拿起你的计算器和我一起计算：2^50≈1.13×10^15，一张纸的厚度按0.1mm计算，最后结果就是1.13×10^8单位是km。

第三个故事

有一个自认为很聪明的年轻人听了这些故事后，决定现学现用。他到某公司求职，老板答应他试用期七天，日薪50元。年轻人对老板说：“日薪能否再谈谈？”老板很随后：“你开个价吧”。年轻人很高兴，就对老板说：“第一天您须付给我5分钱，第二天付给我25分钱，以后每天付给我的钱数为前一天与第一天的钱数之积。”老板听完，仔细思考后答应了他的要求，签订如下合同：“本公司职工XX，经本人同意，在试用期期间的工资按如下方案给付：第一天付0.05元，以后每天付给的钱数为前一天与第一天的钱数之积（0.05×0.05元）。”签完合同后年轻人就自己算起了账：第一天5分，第二天5×5分……以此类推，第七天5^7分，总工资：5^1＋5^2＋5^3＋5^4＋5^5＋5^6＋5^7=97 655（分）=976.55元。年轻人很高兴，他觉得自己的聪明占到了大便宜，所以他就每天卖力的干活。没有想到的是老板是个聪明的奸商，到了第七天试用期结束，他付给年轻人6分钱还说多给了半分，这是为什么呢？其实早在签订合同时老板就做了手脚。他叫来了秘书算了起来：第一天0.05元，第二天0.05×0.05元，第三天0.05×0.05×0.05元……第七天0.05^7，总工资：0.05^1＋0.05^2＋0.05^3＋0.05^4＋0.05^5＋0.05^6＋0.05^7≈0.0526元。这就是“偷鸡不成蚀把米”，本想赚一笔，结果却白干了七天，自作聪明往往会搬起石头砸自己的脚。

出现问题的原因

我们只讨论正数的乘方

这既是我上一篇文章里提到的指数效应：

大于1的数，随着指数的增大，结果会趋近于无穷大；小于1的正数，随着指数的增大，结果会趋近于零。

讲个曾在网上很火爆的式子：

1.01^365=（1+0.01）^365≈37.8

0.99^365=（1－0.01）^365≈0.03

365次方代表一年的365天，1代表每一天的努力，+0.01表示每天多做一点，－0.01表示每天少做一点。

365天后，一个增长到37.8，一个减少到0.03

这就像陶渊明所写的诗句：

“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长。

辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。”